怎麼認識三角形內切圓圓心

關於三角形的內心，有一些有趣的性質，可以極大的減少幾何問題的計算量。

操作方法

（01）△ABC的內心為I，內切圓與三邊切於D、E、F，那麼：AE=AF，BD=BF，CD=CE

（02）設三角形的三邊程度分別是a、b、c，那麼：BD=BF=(a+c-b)/2

（03）線段的比例：BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)進而，得到一個三角恆等式：(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)

（04）設P是BC的中點，D關於P的對稱點是D1，那麼：AB+BD1=AC+CD1也就是説，AD1平分△ABC的周長。

（05）設Q是BA中點，R是AB中點；用上面的方法，同樣可以構造出△ABC的周長平分線BE1和CF1。

（06）三角形的三條周長平分線共點，這個點稱為△ABC的界心，標記為J。

（07）設G為△ABC的重心，那麼，I、G、J三點共線，且JG=2*IG。

（08）由此可知，△ABC和△PQR關於G透視對應，對應關係是：A、B、C對應P、Q、R，I對應J，直線AJ對應直線PI。所以，直線PI是△PQR的周長平分線。

（09）設PI與QR交於T，那麼：A、T、D共線。

（10）S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC這樣可以求出I相對於△ABC的重心座標是(sinA:sinB:sinC)。

直角三角形的內心

（01）△BAC中，AK⊥BC於K，I、M、N分別是△ABC、ABK、ACK的內心，ID⊥BC於D，AK交PQ於T。求證：四邊形DNTM是正方形。

（02）設△ABC的三邊長分別是a、b、c，那麼，容易算出：BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)

（03）BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)要證明DNTM是正方形，可以先間接證明：DN//MT//BPDM//NT//CQ這就需要證明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)因為a^2=b^2+c^2，所以容易證明上式成立。

（04）再證明DM=DN。因為DM=BD*CQ/BC，DN=CD*BP/BC，所以，轉而證明：BD:BP=CD:CQ而這一點是比較容易的了。