0.999999999循環等於1嗎？

等於

在數學的完備實數系中，循環小數0.999…表示一個等於1的實數，即0.999…所表示的數與1相同。目前該等式已經有各式各樣的證明式；它們各有不同的嚴謹性、背景假設，且都藴含實數的實質條件，即阿基米德公理、歷史文脈、以及目標受眾。

無限循環小數 0.999... 與 1 嚴格相等。

很多網友會通過一些初等的方法來理解這個事實，下面舉出三種有代表性的初等思路：思路一：

設 a=0.999...

則 10a=9.999...

於是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,

因此 a=1.

思路二：

由於 1/3=0.333...,

所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...

思路三：

0.999...可以看成首項為 0.9, 公比為 0.1 的等比數列

的所有項之和.

根據等比數列的求和公式,

但是，需要強調的是，以上三種思路可以用來直觀理解，但不能把它們當成“1=0.999...”的嚴格證明。原因是，“0.999...”這樣的無限小數的嚴格表示是超出了初等數學的範圍的，不能想當然地對“0.999...”這樣的無限小數做普通的加減乘除運算，所以上面三種初等思路只能算“投機取巧”的“初等理解”，而不能叫做“嚴格證明”。

要給出 1=0.999... 這個事實的嚴格證明，需要理解從有理數構造實數的辦法，這個構造過程將使我們更加深刻地認識無理數，而不是僅僅停留在"無限不循環小數"的直觀層面上。

在過去數十年裡，許多數學教育的研究人員研究了大眾及學生們對該等式的接受程度，許多學生在學習開始時懷疑或拒絕該等式，而後許多學生被老師、教科書和如下章節的算術推論説服接受兩者是相等的，儘管如此，許多人們仍常感到懷疑，而提出進一步的辯解，這經常是由於存在不少對數學實數錯誤的觀念等的背後因素，例如認為每一個實數都有唯一的一個小數展開式，以及認為無限小（無窮小）不等於0，並且將0.999…視為一個不定值，即該值只是一直不斷無限的微微擴張變大，因此與1的差永遠是無限小而不是零，因此「永遠都差一點」。我們可以構造出符合這些直觀的數系，但是隻能在用於初等數學或多數更高等數學中的標準實數系統之外進行，的確，某些設計含有「恰恰小於1」的數，不過，這些數一般與0.999…無關（因為與之相關的理論上和實踐上都皆無實質用途），但在數學分析中引起了相當大的關注。