線性方程租的解法(非齊次方程和齊次方程)

學習交流
關注：3.01W次

小編想以自己的來給大家講講常見的大學線代（線性方程的解法），分為非齊次方程組合齊次方程組兩部分。

操作方法

（01）我們先了解什麼是齊次和非齊次：類似於：a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,1x1+am2x2+n=bm,(數字均為下標)中，如果b1,b2,不全為0，則該方程組為非齊次方程，反之（全為0）為其次方程；

（02）1.判斷方程有沒有解：1)非齊次方程：充要條件：係數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等；設係數矩陣的秩為rA，增廣矩陣的秩為rB，x階數為n則有rA=rB=n時，方程組有唯一的解，當rA=rB<n時，方程有無窮解。

（03）現在我們來詳細討論（要求讀者自行掌握矩陣消元法）：1)齊次方程解法：例如：(注意x後面的數字是角標)x1+x2-3x4-x5=0,x1-x2+2x3-x4=0,4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0,2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0我們先把係數提取出來記得x的角標對應着位置：x1+x2-3x4-x5=0提出後應該是：1 1 0(x3不存在，意味着係數為0) -3 -1同理得其他係數：A=1 1 0 -3 -11 -1 2 -1 04 -2 6 3 -42 4 -2 4 -7變換過後可得1 1 0 -3 -10 2 -2 -2 -10 0 0 3 -10 0 0 0 0在根據該變換系數寫出對應的方程組x1+x2-3x4-x5=0(該處的x3係數為0，不用寫出來)2x2-2x4-2x4-x5=0,3x4-x5=0這裏開始，要選參數進行解題（不要問為什麼這樣，這是‘百年’來的成果總結的經驗= =）我們看到這三個方程組的第一個x項分別為（x1,x2,x4），將它們作為未知量，故選取x3,x5(非第一項的x項)為參數，作為參數的表面意思是將他們移到右邊。既有：x1+x2-3x4=x5'2x2-2x4=x5'+2x3'3x4=x5'(加 ' 的原因是區別於原來的x項，原來的x項是作為未知量存在的)又到一個重點了（別問為什麼，這樣解比較方便，前人總結的經驗，記住就好）

（04）2）非齊次方程組的解法：類似於上題，為了節約你的眼睛資源，我就簡單説一下假設x1+x2-3x4-x5=a,x1-x2+2x3-x4=b,4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=c,2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=d

（05）即x1+x2-3x4-x5=A，2x2-2x3-2x4-x5=B,3x4-x5=C重點來了：與齊次方程不同，這裏要先求出特解，而特解一般保留的未知量是第一個x項數！！這裏即保留x1，x2，x4 （x3，x5設為0）所以原方程可化為x1+x2-3x4=A,2x2-2x4=B,3x4=C,

（06）還沒有完！！！這只是特解！還要求基礎解系在這裏我們要把右邊的數全部變為0，即A=1 1 0 -3 -11 -1 2 -1 04 -2 6 3 -42 4 -2 4 -7就和齊次方程一樣了，不多説（和上題一樣的解法），我們可解得：X1=（-1,1,1,0,0）,X2=(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)所以方程通解為X=特解+基礎解系=（A+2/3C-1/2B, 1/3C+1/2B, 0, C, 0）+k1（-1,1,1,0,0）+k2(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)