arctanx的導數是什麼?
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1/1+x²
arctanx的導數是1/1+x²,設y=arctanx,則x=tany,因為arctanx′=1/tany′,且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y,則arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。
arctanx(即Arctangent)指反正切函數。反函數與原函數關於y=x的對稱點的導數互為倒數。設原函數為y=f(x),則其反函數在y點的導數與f'(x)互為倒數(即原函數,前提要f'(x)存在且不為0)。
反正切函數arctanx的導數
(arctanx)'=1/(1+x^2)
函數y=tanx,(x不等於kπ+π/2,k∈Z)的反函數,記作x=arctany,叫做反正切函數。其值域為(-π/2,π/2)。反正切函數是反三角函數的一種。
反正切函數arctanx的求導過程
設y=arctanx
則x=tany
因為arctanx′=1/tany′
且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y
則arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。
所以arctanx的導數是1/1+x²。
其他常用公式
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)
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