想學好數學的同學轉（ 知識點4）

必修五和選修2－1的知識點

操作方法

（01）1. 常用邏輯用語（約8課時）（1）命題及其關係①瞭解命題的逆命題、否命題與逆否命題。②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關係。（2）簡單的邏輯聯結詞瞭解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義。（3）全稱量詞與存在量詞①理解全稱量詞與存在量詞的意義。②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

（02）2. 圓錐曲線與方程（約16課時）（1）圓錐曲線①瞭解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。②經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質。③瞭解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質。④能用座標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關係）和實際問題。⑤通過圓錐曲線的學習，進一步體會數形結合的思想。（2）曲線與方程瞭解曲線與方程的對應關係，進一步感受數形結合的基本思想。（3）橢圓、雙曲線與拋物線橢圓標準方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,c^2=a^2-b^2)（焦點在x軸上）焦點F1(-c,0)，F2(c,0)離心率e=c/a雙曲線標準方程x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0，c^2=a^2+b^2)（焦點在x軸上）焦點F1(-c,0)，F2(c,0)離心率e=c/a拋物線標準方程 y^2=2px(p>0)（焦點在x軸正半軸上）焦點F(p/2,0)

（03）3. 空間向量與立體幾何（約12課時）（1）空間向量及其運算①經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。②瞭解空間向量的概念，瞭解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其座標表示。③掌握空間向量的線性運算及其座標表示。④掌握空間向量的數量積及其座標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應用①理解直線的方向向量與平面的法向量。②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關係。③能用向量方法證明有關線、面位置關係的一些定理（包括三垂線定理）（參見例1、例2、例3）。④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。參考案例例1. 已知直三稜柱 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ，M是稜 的中點。 證明： 。例2. 已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD為公共邊，但它們不在同一平面上。點M，N分別在對角線BD，AE上，且 。證明：MN∥平面CDE。例3. 已知單位正方體 ，E、F分別是稜 和 的中點。試求：（1） 與EF所成的角；（2）AF與平面 所成的角；（3）二面角 的大小。

（04）選修2－21. 導數及其應用（約24課時）（1）導數概念及其幾何意義①通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，瞭解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵（參見選修1－1案例中的例2、例3）。②通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義。（2）導數的運算①能根據導數定義求函數 的導數。②能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的複合函數（僅限於形如 ）的導數。③會使用導數公式表。（3）導數在研究函數中的應用①藉助幾何直觀探索並瞭解函數的單調性與導數的關係（參見選修1－1案例中的例4）；能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。②結合函數的圖象，瞭解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。（4）生活中的優化問題舉例。例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用（參見選修1－1案例中的例5）。（5）定積分與微積分基本定理①通過求曲邊梯形的面積、變力做功等，從問題情境中瞭解定積分的實際背景；藉助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步瞭解定積分的概念。②通過變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關係，直觀瞭解微積分基本定理的含義（參見例1）。

（05）2. 推理與證明（約8課時）（1）合情推理與演繹推理①瞭解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會並認識合情推理在數學發現中的作用（參見選修1－2案例中的例2、例3）。②體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。③通過具體實例，瞭解合情推理和演繹推理之間的聯繫和差異。（2）直接證明與間接證明①瞭解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；瞭解分析法和綜合法的思考過程、特點。②瞭解間接證明的一種基本方法——反證法；瞭解反證法的思考過程、特點。（3）數學歸納法瞭解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。（4）數學文化①通過對實例的介紹（如歐幾里得《幾何原本》、馬克思《資本論》、傑弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想。②介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。

（06）3. 數系的擴充與複數的引入（約4課時）（1）在問題情境中瞭解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程理論）在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯繫。（2）理解複數的基本概念以及複數相等的充要條件。（3）瞭解複數的代數表示法及其幾何意義。（4）能進行復數代數形式的四則運算，瞭解複數代數形式的加、減運算的幾何意義。。參考案例例1.一個物體依照 規律在直線上運動，我們已經知道，其在某一時刻 的運動速度 （即瞬時速度或瞬時變化率）為 在 時刻的導數，即 。今考慮 在到之間位置的總變化。我們把區間 分割成n個小區間，不妨假設小區間的長度相等，其長度為。對每一個小區間，我們假設的變化率近似為某一常量，於是我們可以説的變化率×時間。在第一個小區間內，即從 到 ，假設 的變化率近似地為 ，於是有同樣，對第二個小區間，即從 到 ，假設 的變化率近似地為 ，因此有等等。把在所有小區間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到s的總變化我們可以把 在 到 之間位置的總變化寫成 。另一方面，當分割無限加細、n趨於無窮時，和式的極限就是定積分 或 ，也就是 在 到 之間位置的總變化。於是，我們可得到以下結論：也就是説，變化率的定積分給出了總的變化。特別地，當物體作勻速運動時，即 時，當物體作勻加速運動時，即 （其中 是常數）時，一般地，如果 是連續函數，並且 ，那麼這就是微積分基本定理。這裏給出的並不是非常嚴格的證明，但是，它反映了微積分基本定理的基本思想，反映了微分（導數）與積分的聯繫。