微分方程及其相應解法（一階篇）

微分方程的類型有很多種，解題時先判斷微分方程是哪種類型，可以幫助我們更快解題，所以我們有必要歸納整理一下各類型的微分方程及其相應解法。

操作方法

（01）1.可分離變量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx設g(y)及f(x)的原函數依次為G(y)及F(x),則G(y)=F(x)+C為微分方程的隱式通解

（02）2.齊次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x則y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x兩端積分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最後用y/x代替u,便得所給齊次方程的通解

（03）3.一階線性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0則dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dxdx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx為一階線性微分方程的通解

（04）4.可降階的高階微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次類推,接連積分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n個任意常數的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p則y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p則y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2