有限元法求解問題的基本步驟介紹

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有限元法是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編制程序，使用計算機輔助求解。

有限元法求解步驟

（01）結構離散化對整個結構進行離散化，將其分割成若干個單元，單元間彼此通過節點相連；

（02）求出各單元的剛度矩陣[K](e)[K](e)是由單元節點位移量{Φ}(e)求單元節點力向量{F}(e)的轉移矩陣，其關係式為:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);

（03）集成總體剛度矩陣[K]並寫出總體平衡方程總體剛度矩陣[K]是由整體節點位移向量{Φ}求整體節點力向量的轉移矩陣，其關係式為{F}= [K] {Φ}，此即為總體平衡方程。

（04）引入支撐條件，求出各節點的位移節點的支撐條件有兩種：一種是節點n沿某個方向的位移為零，另一種是節點n沿某個方向的位移為一給定值。

（05）求出各單元內的應力和應變對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為7點

基本思路和解題步驟

（01）建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。

（02）區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關係之外，還要表示節點的位置座標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。

（03）確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由於各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。

（04）單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定係數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。

（05）總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。

（06）邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄裏克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。

（07）解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

FELAC 2.0 簡介

（01）FELAC2.0採用自定義的有限元語言作為腳本代碼語言，它可以使用户以一種類似於數學公式書寫和推導的方式，非常自然和簡單的表達待解問題的微分方程表達式和算法表達式，並由生成器解釋產生完整的並行有限元計算C程序。

（02）FELAC2.0的目標是通過輸入微分方程表達式和算法之後，就可以得到所有有限元計算的程序代碼，包含串行程序和並行程序。該系統採用一種語言(有限元語言)和四種技術(對象技術、組件技術、公式庫技術生成器技術)開發而成。並且基於FELAC 1.0的用户界面，新版本擴充了工作目錄中右鍵編譯功能、命令終端輸入功能，並且豐富了文本編輯功能，改善了用户的視覺體驗，方便用户快速便捷的對腳本或程序進行編輯、編譯與調試。其中並行版在前後處理上進行了相應的改進。