相關係數r的計算公式是什麼？

相關係數定義式為：若Y=a+bX，則有：令E(X) = μ，D(X) = σ，則E(Y) = bμ + a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)，Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ。

相關係數是最早由統計學家卡爾·皮爾遜設計的統計指標，是研究變量之間線性相關程度的量，一般用字母r表示。由於研究對象的不同，相關係數有多種定義方式，較為常用的是皮爾遜相關係數。相關係數定義式為：若Y=a+bX，則有：令E(X) = μ，D(X) = σ，則E(Y) = bμ + a，D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)，Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ。

相關表和相關圖可反映兩個變量之間的相互關係及其相關方向，但無法確切地表明兩個變量之間相關的程度。相關係數是用以反映變量之間相關關係密切程度的統計指標。相關係數是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關程度；着重研究線性的單相關係數。需要説明的是，皮爾遜相關係數並不是唯一的相關係數，但是最常見的相關係數。

依據相關現象之間的不同特徵，其統計指標的名稱有所不同。如將反映兩變量間線性相關關係的統計指標稱為相關係數（相關係數的平方稱為判定係數）；將反映兩變量間曲線相關關係的統計指標稱為非線性相關係數、非線性判定係數；將反映多元線性相關關係的統計指標稱為複相關係數、復判定係數等。

相關關係是一種非確定性的關係，相關係數是研究變量之間線性相關程度的量。需要指出的是，相關係數有一個明顯的缺點，即它接近於1的程度與數據組數n相關，這容易給人一種假象。因為，當n較小時，相關係數的波動較大，對有些樣本相關係數的絕對值易接近於1﹔當n較大時，相關係數的絕對值容易偏小。特別是當n=2時，相關係數的絕對值總為1。因此在樣本容量n較小時，我們僅憑相關係數較大就判定變量x與y之間有密切的線性關係是不妥當的。