微分方程及其相應解法（二階篇）

微分方程的類型有很多種，解題時先判斷微分方程是哪種類型，可以幫助我們更快解題，所以我們有必要歸納整理一下各類型的微分方程及其相應解法。

操作方法

（01）1.二階常係數齊次線性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特徵方程r2+pr+q=0特徵方程r2+pr+q=0的兩根為r1,r2  微分方程y”+py’+qy=0的通解兩個不相等的實根r1,r2                     y=C1er1x+C2er2x兩個相等的實根r1=r2                       y=(C1+C2x)er1x一對共軛復根r1=α+iβ,r2=α-iβ         y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

（02）2.1.二階常係數非齊次線性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一個特解y*(x)則y(x)=y0(x)+y*(x)即為微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:① f(x)=Pm(x)eλx型令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特徵方程的根,是特徵方程的單根或特徵方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,確定Qm(x)的m+1個係數

（03）2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特徵方程的根或是特徵方程的單根依次取0或1］再代入原方程,分別確定Qm(x)和Rm(x)的m+1個係數

（04）有關微分方程的題目有很多，不可能一一列舉出來，但我們可以掌握方法，開拓思維，這樣我們的高數才會得以提高。