線性代數：如何求矩陣的逆矩陣

逆矩陣的性質和定義

（01）設有一個方陣A，若存在一個方陣B，使得AB=I或BA=I，則稱B是A的逆矩陣，用A-1表示（事實上若AB=I,則必有BA=I）。注意：並不是所有矩陣都有逆矩陣。

傳統求逆矩陣方法

（01）求出 det(M) ,也就是矩陣M的行列式的值。行列式的值通常顯示為逆矩陣的分母值，如果行列式的值為零，説明矩陣不可逆。

（02）求出 MT , 即轉置矩陣。矩陣的轉置體現在沿對角線作鏡面反轉，也就是將元素 (i,j) 與元素 (j,i) 互換。

（03）求出每個2X2小矩陣的行列式的值。

（04）將它們表示為如圖所示的輔助因子矩陣，並將每一項與顯示的符號相乘。這樣就得到了伴隨矩陣（有時也稱為共軛矩陣），用 Adj(M) 表示。

（05）由前面所求出的伴隨矩陣除以第一步求出的行列式的值，從而得到逆矩陣。

（06）逆矩陣轉置，然後列出每個元素周圍的2x2矩陣。檢查三遍行列式的值，如果和原矩陣對應的位置的數相同，那麼你求出的結果就是原矩陣的逆矩陣。使用這個方法，不需要擔心符號的問題。

楔積法求逆矩陣

（01）用M表示3x3的矩陣，D表示它的逆矩陣。用ci表示M的列向量，其中i = 0..2。

（02）計算D = c ^ c1 ^ c2，其中'^'表示楔積。如果D為零，那説明M沒有逆矩陣。否則，M-1的第i行 = (c(i+1) mod 3 ^ c(i + 2) mod 3)) / D，其中i = 0.2

高斯－若爾當方法求逆矩陣

（01）這是個有趣的求逆矩陣方法。。。。。。。。。。。。玩玩這些行（加、乘或對換）直至把矩陣 A變成單位矩陣 I。

（02）在單位矩陣上也做一模一樣的運算，單位矩陣便會奇妙的變成逆矩陣！

（03）例子：求 "A" 的逆：

（04）把給予的矩陣 A 與 單位矩陣 I 並排寫下來：（這叫 "增廣矩陣"）

（05）接着我們盡力去把 "A" （在左邊的矩陣）變成單位矩陣。我們的目標是把矩陣 A 的對角線變成全是 1，而在所有其他位置都是 0 （單位矩陣）。。。。。。在右邊的矩陣也做同樣的運算。我們只能做這些 "初等行運算"：對換兩行的位置把一行裏的每個元素乘以或除以一個常數把一行加上另一行的倍，並取代前者。以上一定要以全行運算，像這樣：先把 A 寫在 I 左邊把 行2 加到 行1 上，把 行1 乘以 5，把第一行的兩倍從第二行減去，把第二行乘以 -1/2，把第二和第三行對換位置，最後，把第三行從第二行減去，做好了！

（06）矩陣 A 變成單位矩陣。。。。。。。。。。。。同時單位矩陣便成 A-1了