洛必達法則求極限的典型例題

典型例題

（01）洛必達法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。眾所周知，兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在。因此，求這類極限時往往需要適當的變形，轉化成可利用極限運算法則或重要極限的形式進行計算。洛必達法則便是應用於這類極限計算的通用方法。因為當分子分母都趨近於0或無窮大時，如果單純的代入極限值是不能求出極限的，但是直觀的想，不管是趨近於0或無窮大，都會有速率問題，就是説誰趨近於0或無窮大快一些，而速率可以通過求導來實現，所以就會有洛必達法則。應用條件：在運用洛必達法則之前，首先要完成兩項任務：一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大)；二是分子分母在限定的區域內是否分別可導。如果這兩個條件都滿足，接着求導並判斷求導之後的極限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，則説明此種未定式不可用洛必達法則來解決；如果不確定，即結果仍然為未定式，再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。

（02）使用洛必達法則時，是對分子、分母分別求導，而不是對它們的商求導。

（03）例三。

（04）例四。注意：洛必達法則是求來定式極限的一種有效方法，但應與其它求極限方法結合使用。為便於求導，應先化簡。常用的化簡方法有:等價變量代換、恆等變形、有非零極限的因子分離出去。

（05）求數列未定式。

（06）總結：洛必達法則只是函數未定式極限存在的充分條件；對數列未定式不能直接地應用洛必達法則。