如何求3X3矩陣的逆矩陣

手工計算一個3x3矩陣的逆矩陣是一項繁瑣的工作，但它非常有用，比如求解各種矩陣方程。

傳統的計算方法

（01）求出 det(M) ,也就是矩陣M的行列式的值。行列式的值通常顯示為逆矩陣的分母值，如果行列式的值為零，説明矩陣不可逆。

（02）求出 MT, 即轉置矩陣。矩陣的轉置體現在沿對角線作鏡面反轉，也就是將元素 (i,j) 與元素 (j,i) 互換。

（03）求出每個2X2小矩陣的行列式的值。

（04）將它們表示為如圖所示的輔助因子矩陣，並將每一項與顯示的符號相乘。這樣就得到了伴隨矩陣（有時也稱為共軛矩陣），用 Adj(M) 表示。

（05）由前面所求出的伴隨矩陣除以第一步求出的行列式的值，從而得到逆矩陣。

（06）對逆矩陣轉置，然後列出每個元素周圍的2x2矩陣。檢查三遍行列式的值，如果和原矩陣對應的位置的數相同，那麼你求出的結果就是原矩陣的逆矩陣。使用這個方法，不需要擔心符號的問題。

楔積法（使用格拉斯曼代數）

（01）用M表示3x3的矩陣，D表示它的逆矩陣。用ci表示M的列向量，其中i = 0..2。

（02）計算D=c^c1^c2，其中'^'表示楔積。如果D為零，那説明M沒有逆矩陣。否則，M-1的第i行 = (c(i+1) mod 3^c(i + 2) mod 3)) /D，其中i= 0.2

特別提示

注意，這個方法也可以應用於含變量或未知量的矩陣中，比如代數矩陣 M 和它的逆矩陣 M-1。

將所有步驟都寫下來，因為要想心算3X3矩陣的逆是極其困難的。

有些計算機程序也可以計算出矩陣的逆。最高可以求出30X30的矩陣。

伴隨矩陣是輔助因子矩陣的轉置，這就是為什麼在第二步中我們要將矩陣轉置以求出輔助因子的轉置矩陣。

可以通過將 M 與 M-1相乘檢驗結果。你應該能夠發現，M*M-1= M-1*M = I. I 是單位陣，其對角線上的元素都為1，其餘元素全為0。否則，你可能在某一步出了錯。

不是所有的3X3矩陣都存在逆矩陣。如果矩陣的行列式的值為零，它就不存在逆矩陣。 (注意到在公式裏我們會除以 det(M)，除數為零時是沒有意義的。)