巧用極座標變換求二元函數的極限

對於一些複雜的二元函數，我們沒法通過鄰域變形式來巧妙的處理極限問題，這裏給大家介紹用極座標變換的方法來化解這種尷尬，除此以外還會有其他的方法，這裏的極座標變換的法子很適合求趨於原點時的極限，以下會給大家舉一個例子，希望對你有所幫助。

操作方法

題幹給出的函數是分情況的，原點處的表達式為常數0，非原點處的函數表達式很複雜，如圖，要求我們驗證原點處的極限是否為0？

這裏就運用了極座標變換的方法了，可能大家在高中數學選修中已經接觸到了極座標的相關知識，這裏令x，y分別為rcosθ，rsinθ。

這裏的參數r的幾何意義就是改點到極點的距離，θ表示改點與極軸的夾角，那麼原函數趨於（0，0）的條件在極座標下就變為r→0了，正好這裏的r也滿足圓形鄰域的表達式。

用極座標變化表示出原函數的關係式，中間能約分的約分，能合併的合併，需要用到三角函數的知識，最終化簡如下。

很顯然sin函數是恆≦1的，那麼就可以放縮到如下步驟

最後根據二元函數極限的定義，來確定δ的取值，那麼函數趨於原點的極限就是0了。

【總結】
一般遇到比較複雜，又是求點(0，0)的極限可以採用極座標變換的方法來簡化問題，這道題目就很好的運用了。