各類未定式求極限處理方法（主要針對考研數學）

不管是在高中還是大學，未定式求極限總是常考內容。特別是考研基本都是必考。本篇是各類未定式的求極限的方法總結。部分內容為大學高數內容，但是大部分內容同樣適合高中。

操作方法

（01）未定式處理遵循先定型後定法原則。現在我們在這裏先將未定式分為4大類型（定型）：1.基本型     即0/0型（零比零型），∞/∞型（無窮比無窮型）。2.無窮乘零型   即∞x0型。3.冪指函數型。4.無窮減無窮型    即∞-∞型。

（02）基本型：直接用洛必達法則，過程中注意每一步都要判斷是否還保持基本型。同時過程中要“四化”（“四化”詳見注意事項）。洛必達法則，即為對分子分母分別求導數。

（03）無窮乘零型（∞x0）：先“下放”再用洛必達就是將∞x0，中的一項變換到分母位置。變換後為0/(1/∞)或者外∞/(1/0)，這樣實際上就變成了0/0型和∞/∞，這就成了基本型了。之後的步奏就用基本型的方法做。

（04）冪指函數型（1的∞次方，∞的0次方，0的0次方）：先指數對數化，之後其冪必定變為了∞x0型，然後冪的極限求法就依照類型2（即無窮乘零型）操作。此處説明指數對數化，上面三種冪指函數指數對數化後為,e的（∞xln 1）次方，e的（0 x ln ∞）次方，e的（0 x ln 0）次方。他們都指數都實際上都分別變成了∞ x 0，0 x ∞，0 x -∞。這就可以按照類型2處理了。

（05）無窮減無窮型（∞-∞）：此類型還細分外三種情況。1.分式差，方法就是通分，之後它局變為了基本型，就參照基本型處理，直接洛必達。2.根式差，看成是分母為1的分式，然後將分子有理化，之後它也變成了基本型3.既非分式也非根式,此類型較為複雜，一般可令x=1/t,這樣就出現了分式。就可按前兩種情況處理。

（06）終極方法（通法）：將分式中的上下部分度化成邁克勞林式子。此方法一般問題都能解決但是較為麻煩，在沒有其他思路的情況下考慮此法。

特別提示

“四化”：1,.無窮小因子等價化（此為大學內容，注意等價化條件只能是在整體的分子或分母）

2.冪指函數指數對數化。

3.無理式有理化。

4.非“0”極限因子淡化，就是把它算出來擱在一邊暫不理它

每用一次洛必達後都要檢查式子的類型，有些時候洛必達一次後式子已經不再是基本型了，不能連續用洛必達。

蠻幹不能蠻斷：不要一看洛必達後的式子極限不存在就認為極限不存在，因為你可能用錯了。