一階常係數非齊次線性微分方程求解

介紹使用Mathematica求解一階常係數非齊次線性微分方程的步驟。
要求的方程形式就是封面中的方程。

操作方法

（01）首先，可以直接使用DSolve開查看一階常係數非齊次線性微分方程通解的形式。有一個未知常量C1，此外還含有一個積分。

（02）下面詳細給出推演步驟（可手算）。首先，我們令【非齊次方程】這個符號存儲我們的偏微分方程。

（03）接下來，首先去掉等號右邊非齊次項，計算這個齊次方程的解我們保存為符號【齊次解】。

（04）接着，我們要算滿足非齊次項的特解。我們把解中的常數C[1]替換為關於微分變量t的函數C[1][t]。把替換後的式子存儲為符號【常數變易】。稍後，我們需要算出C[1][t]。

（05）然後，我們把替換後的這個【常數變易】（半成品的解）帶回非齊次方程。這樣，我們就得到了一個關於C[1][t]的方程，把這個方程存儲到符號【求c的方程】。

（06）然後，我們求解這個求C[1][t]的方程。可以使用DSolve求解也可以容易的分離變量觀察得出。把解出的C[1][t]命名為【C1t的替換】。

（07）然後，我們把這個【C1t的替換】替換到【齊次解】，就得到了一個滿足原來非齊次方程的【特解】。

（08）【最終解】就等於【特解】+【通解】。使用如圖代碼合併兩個解。這個解中只有一個未定常數C（只不過由於解相加相加寫成了C[1]+C[2]）把【最終解】帶入原方程，可見滿足原方程。

（09）這裏再給出了幾個非齊次項已知的特殊情況，比如令f[t]=t或者e^t或者Sin[t]。

由於本方程是一階的，因此有一個不定常數C。這個C在通解中。最終解是特解+通解。

之所以使用HoldForm保持解的表達式，是為了替換u[t]->...可以成功。否則MMA會把D[u[t],...]轉化為簡寫的偏導表示，u'[t]就不會被u[t]->規則替換和計算。