如何求解複合函數的反函數

由函數y=f(u)和函數u=g(x)複合而成的函數y=f(g(x))，叫作複合函數，求複合函數的反函數問題是一個十分複雜、困難的問題。下面我們一起來分析如何求解複雜的複合函數的反函數問題，為了求這個問題，我們可以將該問題分解為若干個基本初等函數的反函數問題。

操作方法

（01）下面我們先來看看關於如何求解複合函數的反函數的一個定理：設函數y=f(u)和函數u=g(x)，若y=f(u)和函數u=g(x)都存在反函數，分別為y=f^(-1)(u)和函數u=g^(-1)(x),那麼複合函數y=f(g(x))也存在反函數，且該反函數為：y=g^(-1)(f^(-1)(u)),具體如下圖所示：

（02）接着我們證明上述定理的正確性和有效性，首先證明其複合函數的反函數的存在性具體證明如下圖所示：

（03）接着我們證明覆合函數的反函數與所組成的複合函數的函數的反函數之間的關係，具體證明過程如下圖所示：

（04）下面我們來看一個例題，根據這個例題我們熟悉一下如何應用上述定理求解複合函數的反函數問題，具體例題題目如下所示：

（05）已經知道例題如上圖所示，下面我們來具體應用定理來求複合函數的反函數，具體求解過程如下圖所示：

特別提示

注意組合成複合函數的各個函數首先要存在反函數